基于图的协同过滤算法原理与实现
字数 3106 2025-12-08 22:46:29

基于图的协同过滤算法原理与实现

题目描述

协同过滤是推荐系统中的经典方法，它利用用户的历史行为（如评分、点击）来预测其未来兴趣。基于图的协同过滤算法（如早期的ItemRank，以及现在常与图神经网络结合的方法）将用户和物品视为一个二分图的节点，将交互行为视为边，通过设计图上信息的传播与聚合方式，最终学习得到用户和物品的嵌入向量，用于计算匹配分数，完成推荐任务。本题将深入解析其核心原理、典型算法步骤和实现要点。

循序渐进讲解

第一步：构建用户-物品二分图

  • 问题形式化：假设我们有 \(M\) 个用户和 \(N\) 个物品，用户-物品的交互数据（如评分、购买）可以表示为一个稀疏矩阵 \(R \in \mathbb{R}^{M \times N}\)，其中 \(R_{ui}\) 表示用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的评分（或隐式反馈，如点击则为1，否则为0）。
  • 图结构构建：我们将此交互矩阵转化为一个无向二分图 \(G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})\)。
    • 节点集合 \(\mathcal{V} = \mathcal{U} \cup \mathcal{I}\)，包含用户节点（\(\mathcal{U}\)）和物品节点（\(\mathcal{I}\)）。
    • 边集合 \(\mathcal{E}\)：如果 \(R_{ui} \ne 0\)，则在用户节点 \(u\) 和物品节点 \(i\) 之间建立一条边 \(e_{ui}\)。边的权重通常可以与 \(R_{ui}\) 的值相关（例如，显式评分或隐式反馈的置信度）。

第二步：定义图上信息传播（Message Passing）

这是算法的核心。其基本思想是：相似的用户会对同一物品有相似的喜好；用户喜欢与他已喜欢的物品相似的物品。这可以通过图上节点的“近邻”信息传播来建模。

  1. 初始化嵌入向量：为每个用户节点 \(u\) 和物品节点 \(i\) 随机初始化一个 \(d\) 维的嵌入向量 \(e_u^{(0)}\) 和 \(e_i^{(0)}\)。
  2. 邻域聚合：
    • 在每一层（或每一次迭代）\(l\)，每个节点会从其一阶邻居节点聚合信息，以更新自身的表示。
    • 以物品节点 \(i\) 的更新为例：
      1. 收集邻居信息：物品 \(i\) 的所有邻居是与之有过交互的用户集合 \(\mathcal{N}(i) = \{u | R_{ui} \ne 0\}\)。
      2. 聚合操作：对来自这些邻居用户的信息进行聚合。最简单的方式是平均池化：

\[ m_i^{(l)} = \frac{1}{|\mathcal{N}(i)|} \sum_{u \in \mathcal{N}(i)} e_u^{(l-1)} \]

        这个聚合得到的 $m_i^{(l)}$ 可以被理解为“哪些用户喜欢我（物品i）”，它反映了物品i的受众特征。
    3.  **更新操作**：将聚合信息与节点自身上一层的表示结合，生成当前层的表示。一个简单的更新方式是直接替换或加权求和：

\[ e_i^{(l)} = \text{UPDATE}(e_i^{(l-1)}, m_i^{(l)}) = m_i^{(l)} \]

        更复杂的方式可以是：$e_i^{(l)} = \text{LeakyReLU}(W^{(l)} \cdot [e_i^{(l-1)} \| m_i^{(l)}])$，其中 $W^{(l)}$ 是可学习参数，$\|$ 表示拼接。
  1. 对称的用户节点更新：
    • 同理，对于用户节点 \(u\)，其邻居是与之交互过的物品集合 \(\mathcal{N}(u) = \{i | R_{ui} \ne 0\}\)。
    • 聚合与更新过程对称：

\[ m_u^{(l)} = \frac{1}{|\mathcal{N}(u)|} \sum_{i \in \mathcal{N}(u)} e_i^{(l-1)} \]

\[ e_u^{(l)} = \text{UPDATE}(e_u^{(l-1)}, m_u^{(l)}) \]

*   $m_u^{(l)}$ 可以被理解为“用户u喜欢哪些物品”，它反映了用户的兴趣画像。
  1. 多层传播：重复上述“邻域聚合”与“节点更新”步骤 \(L\) 层。通过 \(L\) 层传播，每个节点的最终表示能够捕获其 \(L\) 跳（\(L\)-hop）邻域内的结构信息。例如，经过两层传播后，用户 \(u\) 的表示融合了他喜欢的物品（一跳邻居）以及喜欢这些物品的其他用户（二跳邻居）的信息，实现了“用户-物品-用户”的协同。

第三步：生成最终表示与模型预测

  • 最终节点嵌入：经过 \(L\) 层传播后，我们可以得到每个用户和物品的最终层嵌入 \(e_u^{(L)}\) 和 \(e_i^{(L)}\)。实践中，有时会将所有层的嵌入拼接或平均，以保留不同阶的邻域信息。
  • 预测评分/偏好：要预测用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的偏好得分 \(\hat{R}_{ui}\)，最简单有效的方法是计算其最终嵌入向量的内积（或余弦相似度）：

\[ \hat{R}_{ui} = {e_u^{(L)}}^T e_i^{(L)} \]

内积值越高，表示用户对该物品的偏好越强。

第四步：模型训练与损失函数

  • 训练目标：学习所有节点的嵌入向量 \(E = \{e_u, e_i\}\)，使得预测的偏好分数 \(\hat{R}_{ui}\) 尽可能接近真实的观测值。
  • 损失函数：
    • 显式反馈（如评分）：常用均方误差（MSE） 作为损失函数：

\[ \mathcal{L} = \sum_{(u, i) \in \mathcal{D}} (R_{ui} - \hat{R}_{ui})^2 + \lambda \|E\|^2_2 \]

    其中 $\mathcal{D}$ 是训练集中的（用户，物品）交互对，$\lambda$ 是L2正则化系数，用于防止过拟合。
*   **隐式反馈（如点击）**：更常用**贝叶斯个性化排序（BPR）** 损失。它假设观察到的（正）交互物品的排名应高于未观察到的（负）物品。对于一个正样本 $(u, i)$ 和一个随机采样的负样本 $(u, j)$，其损失为：

\[ \mathcal{L}_{BPR} = -\sum_{(u,i,j) \in \mathcal{D}_{BPR}} \ln \sigma(\hat{R}_{ui} - \hat{R}_{uj}) + \lambda \|E\|^2_2 \]

    其中 $\sigma$ 是sigmoid函数，$\mathcal{D}_{BPR}$ 是由（用户，正物品，负物品）组成的三元组集合。
  • 优化：使用随机梯度下降（SGD）或其变体（如Adam）来最小化损失函数，优化更新所有节点的嵌入向量以及可能的聚合/更新函数中的参数。

核心思想总结

基于图的协同过滤本质上是在高阶连通性上定义平滑性约束。它通过用户-物品交互图上有限步的随机游走或信息传播，将“行为相似的用户对物品有相似喜好”（用户协同）和“用户喜欢与他历史喜好相似的物品”（物品协同）这两种思想统一到了一个基于图表示学习的框架中。最终，用户和物品被映射到同一向量空间，它们的邻近性直接对应于预测的偏好强度。这种方法为后续更复杂的图神经网络（如NGCF、LightGCN等）在推荐系统中的应用奠定了基础。

基于图的协同过滤算法原理与实现 题目描述 协同过滤是推荐系统中的经典方法，它利用用户的历史行为（如评分、点击）来预测其未来兴趣。基于图的协同过滤算法（如早期的ItemRank，以及现在常与图神经网络结合的方法）将用户和物品视为一个 二分图 的节点，将交互行为视为边，通过设计图上信息的传播与聚合方式，最终学习得到用户和物品的嵌入向量，用于计算匹配分数，完成推荐任务。本题将深入解析其核心原理、典型算法步骤和实现要点。 循序渐进讲解 第一步：构建用户-物品二分图 问题形式化 ：假设我们有 \(M\) 个用户和 \(N\) 个物品，用户-物品的交互数据（如评分、购买）可以表示为一个 稀疏矩阵 \(R \in \mathbb{R}^{M \times N}\)，其中 \(R_ {ui}\) 表示用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的评分（或隐式反馈，如点击则为1，否则为0）。 图结构构建 ：我们将此交互矩阵转化为一个 无向二分图 \(G = (\mathcal{V}, \mathcal{E})\)。 节点集合 \(\mathcal{V} = \mathcal{U} \cup \mathcal{I}\)，包含用户节点（\(\mathcal{U}\)）和物品节点（\(\mathcal{I}\)）。 边集合 \(\mathcal{E}\)：如果 \(R_ {ui} \ne 0\)，则在用户节点 \(u\) 和物品节点 \(i\) 之间建立一条边 \(e_ {ui}\)。边的权重通常可以与 \(R_ {ui}\) 的值相关（例如，显式评分或隐式反馈的置信度）。 第二步：定义图上信息传播（Message Passing） 这是算法的核心。其基本思想是：相似的用户会对同一物品有相似的喜好；用户喜欢与他已喜欢的物品相似的物品。这可以通过图上节点的“近邻”信息传播来建模。 初始化嵌入向量 ：为每个用户节点 \(u\) 和物品节点 \(i\) 随机初始化一个 \(d\) 维的嵌入向量 \(e_ u^{(0)}\) 和 \(e_ i^{(0)}\)。 邻域聚合 ： 在每一层（或每一次迭代）\(l\)，每个节点会从其 一阶邻居 节点聚合信息，以更新自身的表示。 以物品节点 \(i\) 的更新为例 ： 收集邻居信息 ：物品 \(i\) 的所有邻居是与之有过交互的用户集合 \(\mathcal{N}(i) = \{u | R_ {ui} \ne 0\}\)。 聚合操作 ：对来自这些邻居用户的信息进行聚合。最简单的方式是 平均池化 ： \[ m_ i^{(l)} = \frac{1}{|\mathcal{N}(i)|} \sum_ {u \in \mathcal{N}(i)} e_ u^{(l-1)} \] 这个聚合得到的 \(m_ i^{(l)}\) 可以被理解为“哪些用户喜欢我（物品i）”，它反映了物品i的受众特征。 更新操作 ：将聚合信息与节点自身上一层的表示结合，生成当前层的表示。一个简单的更新方式是直接替换或加权求和： \[ e_ i^{(l)} = \text{UPDATE}(e_ i^{(l-1)}, m_ i^{(l)}) = m_ i^{(l)} \] 更复杂的方式可以是：\(e_ i^{(l)} = \text{LeakyReLU}(W^{(l)} \cdot [ e_ i^{(l-1)} \| m_ i^{(l)} ])\)，其中 \(W^{(l)}\) 是可学习参数，\(\|\) 表示拼接。 对称的用户节点更新 ： 同理，对于用户节点 \(u\)，其邻居是与之交互过的物品集合 \(\mathcal{N}(u) = \{i | R_ {ui} \ne 0\}\)。 聚合与更新过程对称： \[ m_ u^{(l)} = \frac{1}{|\mathcal{N}(u)|} \sum_ {i \in \mathcal{N}(u)} e_ i^{(l-1)} \] \[ e_ u^{(l)} = \text{UPDATE}(e_ u^{(l-1)}, m_ u^{(l)}) \] \(m_ u^{(l)}\) 可以被理解为“用户u喜欢哪些物品”，它反映了用户的兴趣画像。 多层传播 ：重复上述“邻域聚合”与“节点更新”步骤 \(L\) 层。通过 \(L\) 层传播，每个节点的最终表示能够捕获其 \(L\) 跳（\(L\)-hop）邻域内的结构信息。例如，经过两层传播后，用户 \(u\) 的表示融合了他喜欢的物品（一跳邻居）以及喜欢这些物品的其他用户（二跳邻居）的信息，实现了“用户-物品-用户”的协同。 第三步：生成最终表示与模型预测 最终节点嵌入 ：经过 \(L\) 层传播后，我们可以得到每个用户和物品的最终层嵌入 \(e_ u^{(L)}\) 和 \(e_ i^{(L)}\)。实践中，有时会将所有层的嵌入拼接或平均，以保留不同阶的邻域信息。 预测评分/偏好 ：要预测用户 \(u\) 对物品 \(i\) 的偏好得分 \(\hat{R} {ui}\)，最简单有效的方法是计算其最终嵌入向量的 内积 （或余弦相似度）： \[ \hat{R} {ui} = {e_ u^{(L)}}^T e_ i^{(L)} \] 内积值越高，表示用户对该物品的偏好越强。 第四步：模型训练与损失函数 训练目标 ：学习所有节点的嵌入向量 \(E = \{e_ u, e_ i\}\)，使得预测的偏好分数 \(\hat{R}_ {ui}\) 尽可能接近真实的观测值。 损失函数 ： 显式反馈（如评分） ：常用 均方误差（MSE） 作为损失函数： \[ \mathcal{L} = \sum_ {(u, i) \in \mathcal{D}} (R_ {ui} - \hat{R}_ {ui})^2 + \lambda \|E\|^2_ 2 \] 其中 \(\mathcal{D}\) 是训练集中的（用户，物品）交互对，\(\lambda\) 是L2正则化系数，用于防止过拟合。 隐式反馈（如点击） ：更常用 贝叶斯个性化排序（BPR） 损失。它假设观察到的（正）交互物品的排名应高于未观察到的（负）物品。对于一个正样本 \((u, i)\) 和一个随机采样的负样本 \((u, j)\)，其损失为： \[ \mathcal{L} {BPR} = -\sum {(u,i,j) \in \mathcal{D} {BPR}} \ln \sigma(\hat{R} {ui} - \hat{R} {uj}) + \lambda \|E\|^2_ 2 \] 其中 \(\sigma\) 是sigmoid函数，\(\mathcal{D} {BPR}\) 是由（用户，正物品，负物品）组成的三元组集合。 优化 ：使用随机梯度下降（SGD）或其变体（如Adam）来最小化损失函数，优化更新所有节点的嵌入向量以及可能的聚合/更新函数中的参数。 核心思想总结 基于图的协同过滤本质上是 在高阶连通性上定义平滑性约束 。它通过用户-物品交互图上有限步的随机游走或信息传播，将“行为相似的用户对物品有相似喜好”（用户协同）和“用户喜欢与他历史喜好相似的物品”（物品协同）这两种思想统一到了一个基于图表示学习的框架中。最终，用户和物品被映射到同一向量空间，它们的邻近性直接对应于预测的偏好强度。这种方法为后续更复杂的图神经网络（如NGCF、LightGCN等）在推荐系统中的应用奠定了基础。