图神经网络中的图傅里叶变换与图信号处理原理
字数 2018 2025-11-26 06:53:05

图神经网络中的图傅里叶变换与图信号处理原理

1. 问题背景

图神经网络（GNN）需要处理非欧几里得结构的图数据（如社交网络、分子结构）。传统傅里叶变换适用于规则网格数据（如图像、音频），但无法直接用于图结构。图傅里叶变换（Graph Fourier Transform, GFT） 将傅里叶变换推广到图上，是理解图卷积、图滤波等操作的基础。

2. 关键概念：图拉普拉斯矩阵

图傅里叶变换的核心是图拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix），它刻画图的拓扑结构。定义如下：

  • 度矩阵（D）：对角矩阵，对角线元素为每个节点的度数（连接边的数量）。
  • 邻接矩阵（A）：表示节点间的连接关系。
  • 拉普拉斯矩阵：\(L = D - A\)。
  • 归一化拉普拉斯矩阵（常用）：\(L_{norm} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2}\)，其特征值范围在 [0, 2] 内，便于分析。

为什么用拉普拉斯矩阵？
拉普拉斯矩阵的物理意义是图的“平滑度”：对于图信号 \(f\)（每个节点有一个标量值），\(Lf\) 表示信号在相邻节点间的差异，类似连续空间中的二阶导数（拉普拉斯算子）。

3. 图傅里叶变换的推导

步骤1：拉普拉斯矩阵的特征分解

对拉普拉斯矩阵 \(L\) 进行特征分解：

\[L = U \Lambda U^T \]

其中：

  • \(\Lambda\) 是对角矩阵，元素为特征值 \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\)（代表图的频率：小特征值对应低频，大特征值对应高频）。
  • \(U\) 是正交矩阵，每一列是特征向量 \(u_1, u_2, ..., u_n\)（代表图的傅里叶基函数）。

步骤2：图信号在傅里叶基上的投影

传统傅里叶变换将信号分解为正弦波基函数，图傅里叶变换则将图信号 \(f\)（n维向量）投影到拉普拉斯矩阵的特征向量上：

  • 图傅里叶变换：\(\hat{f} = U^T f\)
    • \(\hat{f}\) 是频域信号，第 \(k\) 个分量 \(\hat{f}_k = \langle u_k, f \rangle\) 表示信号在频率 \(\lambda_k\) 上的强度。
  • 逆图傅里叶变换：\(f = U \hat{f}\)

例子：
若图是一个链状结构（类似一维网格），拉普拉斯矩阵的特征向量恰好是离散余弦变换的基函数，与经典傅里叶变换一致。

4. 图滤波与图卷积

图滤波（Graph Filtering）

在频域对信号进行滤波：

  1. 将图信号 \(f\) 变换到频域：\(\hat{f} = U^T f\)。
  2. 用滤波函数 \(g(\lambda)\)（如低通、高通滤波器）对频域信号加权：\(\hat{f}_{filtered} = g(\Lambda) \hat{f}\)。
  3. 逆变换回空域：\(f_{filtered} = U \hat{f}_{filtered}\)。

空域等价形式：直接对拉普拉斯矩阵多项式操作：

\[f_{filtered} = g(L) f = U g(\Lambda) U^T f \]

其中 \(g(L)\) 是图滤波器的空域表示。

图卷积（Graph Convolution）

传统卷积在频域是乘积操作，图卷积同理：

  • 定义：两个图信号 \(f\) 和 \(h\) 的卷积为 \(f * h = U((U^T h) \odot (U^T f))\)。
  • 简化：若 \(h\) 的频域响应为 \(\hat{h}\)，则卷积结果等价于 \(U \hat{h} U^T f\)。

5. 与GNN的联系

图卷积网络（GCN）可视为对图信号的局部滤波：

  • GCN的一层操作：\(H^{(l+1)} = \sigma(\tilde{D}^{-1/2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)})\)，其中 \(\tilde{A} = A + I\)。
  • 这里的 \(\tilde{D}^{-1/2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1/2}\) 近似于归一化拉普拉斯矩阵 \(L_{norm}\) 的线性函数，相当于一个低通滤波器，平滑相邻节点的信号。

6. 总结

  • 图傅里叶变换：通过拉普拉斯矩阵的特征分解，将图信号从空域变换到频域。
  • 图滤波：在频域调整信号分量，实现去噪或特征增强。
  • 应用：是谱域GNN（如ChebNet、GCN）的理论基础，帮助理解GNN如何利用图结构处理信息。

通过这种频域视角，我们能更深入地理解GNN的本质：图神经网络是通过局部滤波逐步聚合邻居信息，从而学习图的全局特征。

图神经网络中的图傅里叶变换与图信号处理原理 1. 问题背景 图神经网络（GNN）需要处理非欧几里得结构的图数据（如社交网络、分子结构）。传统傅里叶变换适用于规则网格数据（如图像、音频），但无法直接用于图结构。 图傅里叶变换（Graph Fourier Transform, GFT） 将傅里叶变换推广到图上，是理解图卷积、图滤波等操作的基础。 2. 关键概念：图拉普拉斯矩阵 图傅里叶变换的核心是 图拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix） ，它刻画图的拓扑结构。定义如下： 度矩阵（D） ：对角矩阵，对角线元素为每个节点的度数（连接边的数量）。 邻接矩阵（A） ：表示节点间的连接关系。 拉普拉斯矩阵 ：\( L = D - A \)。 归一化拉普拉斯矩阵 （常用）：\( L_ {norm} = I - D^{-1/2} A D^{-1/2} \)，其特征值范围在 [ 0, 2 ] 内，便于分析。 为什么用拉普拉斯矩阵？ 拉普拉斯矩阵的物理意义是图的“平滑度”：对于图信号 \( f \)（每个节点有一个标量值），\( Lf \) 表示信号在相邻节点间的差异，类似连续空间中的二阶导数（拉普拉斯算子）。 3. 图傅里叶变换的推导 步骤1：拉普拉斯矩阵的特征分解 对拉普拉斯矩阵 \( L \) 进行特征分解： \[ L = U \Lambda U^T \] 其中： \( \Lambda \) 是对角矩阵，元素为特征值 \( \lambda_ 1, \lambda_ 2, ..., \lambda_ n \)（代表图的频率：小特征值对应低频，大特征值对应高频）。 \( U \) 是正交矩阵，每一列是特征向量 \( u_ 1, u_ 2, ..., u_ n \)（代表图的傅里叶基函数）。 步骤2：图信号在傅里叶基上的投影 传统傅里叶变换将信号分解为正弦波基函数，图傅里叶变换则将图信号 \( f \)（n维向量）投影到拉普拉斯矩阵的特征向量上： 图傅里叶变换 ：\( \hat{f} = U^T f \) \( \hat{f} \) 是频域信号，第 \( k \) 个分量 \( \hat{f}_ k = \langle u_ k, f \rangle \) 表示信号在频率 \( \lambda_ k \) 上的强度。 逆图傅里叶变换 ：\( f = U \hat{f} \) 例子 ： 若图是一个链状结构（类似一维网格），拉普拉斯矩阵的特征向量恰好是离散余弦变换的基函数，与经典傅里叶变换一致。 4. 图滤波与图卷积 图滤波（Graph Filtering） 在频域对信号进行滤波： 将图信号 \( f \) 变换到频域：\( \hat{f} = U^T f \)。 用滤波函数 \( g(\lambda) \)（如低通、高通滤波器）对频域信号加权：\( \hat{f}_ {filtered} = g(\Lambda) \hat{f} \)。 逆变换回空域：\( f_ {filtered} = U \hat{f}_ {filtered} \)。 空域等价形式 ：直接对拉普拉斯矩阵多项式操作： \[ f_ {filtered} = g(L) f = U g(\Lambda) U^T f \] 其中 \( g(L) \) 是图滤波器的空域表示。 图卷积（Graph Convolution） 传统卷积在频域是乘积操作，图卷积同理： 定义：两个图信号 \( f \) 和 \( h \) 的卷积为 \( f * h = U((U^T h) \odot (U^T f)) \)。 简化：若 \( h \) 的频域响应为 \( \hat{h} \)，则卷积结果等价于 \( U \hat{h} U^T f \)。 5. 与GNN的联系 图卷积网络（GCN）可视为对图信号的局部滤波： GCN的一层操作：\( H^{(l+1)} = \sigma(\tilde{D}^{-1/2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)}) \)，其中 \( \tilde{A} = A + I \)。 这里的 \( \tilde{D}^{-1/2} \tilde{A} \tilde{D}^{-1/2} \) 近似于归一化拉普拉斯矩阵 \( L_ {norm} \) 的线性函数，相当于一个低通滤波器，平滑相邻节点的信号。 6. 总结 图傅里叶变换 ：通过拉普拉斯矩阵的特征分解，将图信号从空域变换到频域。 图滤波 ：在频域调整信号分量，实现去噪或特征增强。 应用 ：是谱域GNN（如ChebNet、GCN）的理论基础，帮助理解GNN如何利用图结构处理信息。 通过这种频域视角，我们能更深入地理解GNN的本质： 图神经网络是通过局部滤波逐步聚合邻居信息，从而学习图的全局特征 。