快速幂算法的矩阵形式与应用

一、问题描述
快速幂算法不仅适用于快速计算整数幂（如aⁿ），还可以推广到矩阵幂运算。矩阵快速幂是解决线性递推问题（如斐波那契数列）和动态规划优化的核心工具。例如，计算斐波那契数列第n项F(n) = F(n-1) + F(n-2)，直接递归或迭代需要O(n)时间，而矩阵快速幂可优化到O(log n)。

二、矩阵形式的核心思想

1. 将递推关系转化为矩阵乘法
   以斐波那契数列为例：

\[ \begin{cases} F(n) = F(n-1) + F(n-2) \\ F(n-1) = F(n-1) \end{cases} \]

写成矩阵形式：

\[ \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} F(n-1) \\ F(n-2) \end{bmatrix} \]

递推展开后得到：

\[ \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} F(1) \\ F(0) \end{bmatrix} \]

其中基础情况F(0)=0, F(1)=1。

2. 矩阵快速幂的递归与迭代实现
   计算矩阵幂Mⁿ时，利用快速幂的分治思想：
   • 若n为偶数：Mⁿ = (M^{n/2})²
   • 若n为奇数：Mⁿ = M ⋅ (M^{(n-1)/2})²
     每一步通过矩阵乘法合并结果，避免逐次相乘。

三、具体步骤与示例（计算F(10)）

1. 构造初始矩阵
   基础矩阵 \(M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)，初始向量 \(V = \begin{bmatrix} F(1) \\ F(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)。
   目标：计算 \(M^9 \cdot V\)。

2. 分解指数9的二进制形式
   9的二进制为1001，对应 \(9 = 8 + 1\)。
   快速幂通过迭代计算：

   • 初始化结果矩阵为单位矩阵 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)。
   • 从低位到高位处理二进制位：
     • 当前位为1时：结果矩阵乘以当前幂次对应的矩阵。
     • 每一步更新当前矩阵为自身的平方。

3. 迭代过程

   • 初始：\(\text{res} = I, \text{base} = M\)，指数n=9。
   • 步骤1（n=9，最低位为1）：
     \(\text{res} = \text{res} \cdot \text{base} = I \cdot M = M\)，
     \(\text{base} = \text{base}^2 = M^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，n=4。
   • 步骤2（n=4，最低位为0）：
     仅更新base：\(\text{base} = \text{base}^2 = M^4 = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\)，n=2。
   • 步骤3（n=2，最低位为0）：
     \(\text{base} = \text{base}^2 = M^8 = \begin{bmatrix} 34 & 21 \\ 21 & 13 \end{bmatrix}\)，n=1。
   • 步骤4（n=1，最低位为1）：
     \(\text{res} = \text{res} \cdot \text{base} = M \cdot M^8 = \begin{bmatrix} 55 & 34 \\ 34 & 21 \end{bmatrix}\)，n=0终止。

4. 得到结果
   \(\begin{bmatrix} F(10) \\ F(9) \end{bmatrix} = \text{res} \cdot V = \begin{bmatrix} 55 & 34 \\ 34 & 21 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 55 \\ 34 \end{bmatrix}\)，故F(10)=55。

四、应用场景与扩展

1. 线性递推问题
   如F(n) = a·F(n-1) + b·F(n-2) + c，可通过扩充矩阵维度处理（例如加入常数项）。
2. 动态规划优化
   当状态转移方程为线性时（如dp[i] = Σa_k·dp[i-k]），可用矩阵快速幂将O(n)优化为O(k³ log n)，其中k为状态维度。
3. 图论中的路径计数
   邻接矩阵A的n次幂Aⁿ[i][j]表示从节点i到j长度为n的路径数。

五、实现注意事项

• 矩阵乘法需自定义实现，注意维度匹配。
• 模运算下需处理负数（如斐波那契数列对1e9+7取模）。
• 时间复杂度：矩阵维度为k时，每次乘法O(k³)，总复杂度O(k³ log n)。