基于比较的排序算法下界分析 问题描述 在排序算法中，基于比较的排序（如快速排序、归并排序等）通过比较元素大小来决定它们的相对顺序。一个基础问题是：这类排序算法在最坏情况下至少需要多少次比较？这就是基于比较的排序算法的时间下界问题。 核心概念 决策树模型 ：将排序过程抽象为一棵二叉树，每个内部节点代表一次比较（如a≤b？），叶子节点代表一种可能的排序结果。 信息论角度 ：排序的本质是确定输入序列在所有排列中的唯一位置，需要足够的信息量（比特数）。 详细推导过程 步骤1：确定排序问题的可能性空间 对于n个互异元素的序列，共有n !种可能的排列方式。 排序算法的目标是唯一确定输入序列对应哪一种排列。 步骤2：决策树模型的建立 每次比较产生两种结果（≤或＞），对应决策树的分支。 树的高度代表最坏情况下的比较次数，叶子节点数至少为n !（每个排列至少一个叶子）。 设树高度为h，则叶子数最多为2^h（满二叉树时）。 因此：2^h ≥ n ! 步骤3：通过斯特林公式近似n! 斯特林公式：n ! ≈ √(2πn)(n/e)^n 取对数得：h ≥ log₂(n !) ≈ nlog₂n - nlog₂e + O(log n) 最终下界为： Ω(n log n) 步骤4：信息论解释 识别一个排列需要log₂(n !)比特信息。 每次比较提供1比特信息（是/否），故至少需要log₂(n !)次比较。 结果与决策树模型一致。 实例验证 以n=3为例： 排列数：3 ! = 6 决策树最小高度：⌈log₂6⌉ = 3 实际算法（如插入排序）最坏需3次比较，达到下界。 结论 任何基于比较的排序算法最坏情况下时间复杂度为Ω(n log n)。归并排序和堆排序等算法达到该下界，因此是最优的。此分析揭示了比较操作的固有局限性，为研究非比较排序（如计数排序）提供了理论动机。