K-均值聚类算法（K-means Clustering）

K-均值聚类是一种经典的无监督学习算法，用于将数据集划分为K个不相交的簇。其核心思想是通过迭代优化，使得同一簇内的数据点尽可能相似，而不同簇的数据点尽可能不同。下面我们逐步解析其原理和实现过程。

1. 基本概念与目标

• 输入：一个包含N个数据点的数据集（每个点可以是多维向量），以及预设的簇数量K。
• 输出：K个簇，每个簇由其质心（中心点）和属于该簇的数据点集合表示。
• 优化目标：最小化所有数据点到其所属簇质心的平方距离之和（即最小化簇内方差）。

2. 算法步骤详解

• 步骤1：初始化质心

  • 随机选择K个数据点作为初始质心（或使用改进方法如K-means++优化初始化）。
  • 例如，若K=3，则从数据集中随机选取3个点作为初始质心C₁、C₂、C₃。

• 步骤2：分配数据点到最近质心（簇分配）

  • 遍历每个数据点，计算其与所有质心的距离（通常使用欧氏距离）。
  • 将每个点分配到距离最近的质心所在的簇。
  • 数学表达：对于点xᵢ，分配其到簇Sⱼ，其中j = argminₖ ||xᵢ - Cₖ||²。

• 步骤3：重新计算质心

  • 对每个簇，计算其所有数据点的均值，将该均值作为新的质心。
  • 例如，簇Sⱼ的新质心Cⱼ = (1/|Sⱼ|) * Σx∈Sⱼ x，其中|Sⱼ|是簇Sⱼ的大小。

• 步骤4：迭代直至收敛

  • 重复步骤2和步骤3，直到质心不再发生显著变化（或达到最大迭代次数）。
  • 收敛条件通常设置为质心移动距离小于阈值，或簇分配不再改变。

3. 关键细节与复杂度分析

• 距离度量：欧氏距离最常用，但也可根据数据特征选择其他距离（如曼哈顿距离）。
• 时间复杂度：每次迭代需O(NKd)时间（N为点数，K为簇数，d为数据维度）。
• 空间复杂度：O(Nd + Kd)，存储数据点和质心。

4. 算法优缺点

• 优点：简单高效，适用于大规模数据；结果可解释性强。
• 缺点：
  • 需预先指定K值，选择不当影响结果。
  • 对初始质心敏感，可能收敛到局部最优（可通过多次随机初始化缓解）。
  • 对非球形簇或噪声数据效果较差（需结合DBSCAN等算法改进）。

5. 改进策略示例

• K-means++：优化初始化，使初始质心尽可能分散，提升收敛速度和稳定性。
• 肘部法则：通过不同K值对应的损失函数值曲线，选择拐点作为最佳K值。

通过以上步骤，K-均值算法能够自动发现数据中的自然分组，广泛应用于客户分群、图像分割等领域。理解其迭代过程和局限性，有助于在实际问题中合理应用和调整算法。