交叉熵损失函数在分类任务中的应用与推导 描述 交叉熵损失函数是分类任务中最核心的损失函数之一，尤其在逻辑回归、神经网络等模型中广泛应用。它衡量的是模型预测概率分布与真实概率分布之间的差异。理解交叉熵损失函数，需要从信息论基础出发，逐步推导到具体应用。 1. 信息量与熵的概念基础 信息量 ：衡量一个事件发生所带来的信息多少。事件发生概率越小，信息量越大。公式为： I(x) = -log(P(x)) ，其中 P(x) 是事件发生的概率。 熵 ：衡量一个概率分布的不确定性。熵越大，不确定性越高。对于离散分布： H(P) = -Σ P(x) * log(P(x)) ，表示按照真实分布 P 来识别一个样本所需的信息量的期望。 2. 交叉熵的定义与直观理解 交叉熵 ： H(P, Q) = -Σ P(x) * log(Q(x)) ，其中 P 是真实分布， Q 是预测分布。 直观理解 ： 如果 Q 与 P 完全一致，交叉熵等于熵（最小值）。 如果 Q 与 P 不一致，交叉熵会大于熵，多出的部分称为KL散度（相对熵）。 在分类任务中的意义 ：将真实标签视为一个概率分布（如分类问题中真实类别的概率为1，其他为0），交叉熵衡量模型预测分布与真实分布的差异。 3. 二分类中的交叉熵损失函数推导 真实标签 ： y ∈ {0, 1} ，表示正类或负类。 模型预测 ： ŷ = σ(z) （sigmoid函数输出，表示预测为正类的概率）。 损失函数推导 ： 将真实标签和预测值代入交叉熵公式： 若 y=1 ，理想预测 ŷ=1 ，损失为 -log(ŷ) 。 若 y=0 ，理想预测 ŷ=0 ，损失为 -log(1-ŷ) 。 合并公式： L = -[y * log(ŷ) + (1-y) * log(1-ŷ)] 。 示例 ：若 y=1 ， ŷ=0.8 ，损失为 -log(0.8)≈0.223 ；若 ŷ=0.1 ，损失为 -log(0.1)≈2.302 ，说明预测错误时惩罚更大。 4. 多分类中的交叉熵损失函数（Softmax交叉熵） 真实标签 ：one-hot编码，如 y = [0, 1, 0] 。 模型预测 ：Softmax输出概率分布，如 ŷ = [0.2, 0.7, 0.1] 。 损失函数 ： L = -Σ y_i * log(ŷ_i) ，由于one-hot中仅一个位置为1，实际只需计算真实类别对应的预测概率的负对数。 示例 ：真实类别为第2类，若预测概率为0.7，损失为 -log(0.7)≈0.357 ；若预测概率为0.1，损失为 -log(0.1)≈2.302 。 5. 交叉熵与均方误差（MSE）的对比 MSE问题 ：在分类任务中，MSE的损失曲面非凸，且梯度在饱和区（预测接近0或1时）较小，导致学习缓慢。 交叉熵优势 ： 梯度形式简洁（如二分类中梯度为 ŷ - y ），与误差成正比，学习效率高。 严格凸函数，易于优化。 6. 实际应用中的注意事项 数值稳定性 ：计算 log(ŷ) 时，若 ŷ 接近0可能导致数值溢出。实际需对预测值裁剪（如限制在 [ε, 1-ε] ）。 与Softmax的结合 ：在神经网络中，Softmax层常与交叉熵损失联合实现，可简化梯度计算。 通过以上步骤，交叉熵损失函数从理论到实践的逻辑已完整呈现，其核心在于通过概率差异的量化，指导模型快速逼近真实分布。