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题目：求解一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根

题目描述
一元二次方程是形如 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的方程，其中 \(a \neq 0\)。其解（根）的求解是代数学中的基础问题，需根据判别式的值判断根的性质（实数根或复数根），并应用求根公式计算具体值。

解题过程

1. 判别式分析
   首先计算判别式 \(\Delta\)（Delta）：

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

• 若 \(\Delta > 0\)，方程有两个不相等的实数根；
• 若 \(\Delta = 0\)，方程有两个相等的实数根（重根）；
• 若 \(\Delta < 0\)，方程有两个共轭复数根。

2. 分类求解
   • 情况一：\(\Delta \geq 0\)（实数根）
     直接使用求根公式：

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

 若 $ \Delta = 0 $，公式简化为 $ x = -\frac{b}{2a} $。  

• 情况二：\(\Delta < 0\)（复数根）
  将 \(\sqrt{\Delta}\) 转化为虚数形式：

\[ \sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|} \quad (i为虚数单位，i^2 = -1) \]

 代入求根公式：  

\[ x = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a} \]

3. 示例验证

   • 例1： \(2x^2 - 4x + 2 = 0\)
     \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times 2 = 0\) → 重根 \(x = \frac{4}{4} = 1\)。

   • 例2： \(x^2 + 2x + 5 = 0\)
     \(\Delta = 4 - 20 = -16\) → 复数根 \(x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i\)。

关键点总结

• 判别式决定根的类型，需优先计算；
• 复数根总以共轭形式出现，计算时注意虚部符号。